Родился в Арзамасе. Родители рано умерли и мальчик рос в приемной семье. В 14 лет А.Костров подает заявление в учебный тракторный комбинат. По окончанию учебы устраивается работать в депо ст.Арзамас-II слесарем по ремонту вагонов, затем он слесарь по ремонту дизелей, старший машинист.

В 1937 г. Алексея Кострова призывают на службу в Красную Армию. После демобилизации возвращается в свой родной город и начинает работать старшим машинистом на ст.Арзамас- II. В 1942 г. А. Кострова мобилизуют в спецформирование Казанской железной дороги. В 1944г. получает ранение в ногу и ему ампутируют стопу.

После войны А.Д.Костров опять возвращается в Арзамас. В 1956г. он приходит на завод «Коммаш», который становится его основным местом работы. Здесь, на заводе, в полной мере развернулись его творческие способности. Он все время что-то создавал, придумывал, чтобы облегчить труд рабочих при изготовлении деталей, приспособлений. Десятки его предложений инструментальщики использовали в повседневной работе.

А.Д.Костров долгие годы вел активную общественную работу. Дважды избирался депутатом областного Совета народных депутатов, трижды – депутатом городского Совета. Награжден орденами и медалями: 1966г. – «Орден Ленина», 1967г. – «50 лет Вооруженных сил СССР», 1970г. – «За доблестный труд в ознаменовании 100-летия со дня рождения В.И.Ленина», 1978г. – «60 лет Вооруженных сил СССР», «Ветеран труда», «Почетный работник Минстройдормащ», 1985г. – «Сорок лет Победы в Великой Отечественной войне», орден «Отечественной войны I степени».

В 1978 г. А.Д. Кострову присвоили звание «Почетный гражданин г.Арзамаса».